Análise Combinatória - Fatorial e Anagramas

Olá visitante,

Inaugurando o blog com um tema muito usado em vestibulares e concursos: Análise combinatória.

Primeiro de todos:
→ Fatorial ( ! )

O que é fatorial?

Esse símbolo "!" que é usado como exclamação no nosso idioma, na Matemática é usado para representar multiplicações sucessivas por um número inicial e seus antecessores até chegar ao 1.

Exemplos: 

5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
1! = 1 
0! = 1 ( por convenção )

De forma geral,

n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)....2.1

 Observação:
Não existe fatorial com números negativos.

E para que isso serve?

Para responder essa questão, podemos avançar um pouco para:

→ Anagramas

Anagramas significam o "embaralhamento das letras de uma palavra, formando sentido à essa nova palavra ou não.

Exemplo:

⧪ Quantos anagramas existem da palavra SAL?

R: Os anagramas são:

SAL
SLA
ASL
ALS
LAS
LSA

Ou seja, 6 anagramas possíveis.

Mas qual a ligação entre anagramas e fatorial?

Se usarmos a quantidade de letras, veremos que:

3! = 3.2.1 = 6 anagramas

Perceberam que o resultado deu o mesmo? Então, isso nos ajuda também quando pede-se anagramas de palavras com mais letras. Imaginem quantos anagramas teríamos que fazer com a palavra PAULO.
5! = 120 anagramas!!!! Ainda bem que na Matemática só pedimos quantos e não quais!

Uma outra observação importante é que esse cálculo só serve para anagramas sem letras repetidas.

Quando há letras repetidas procedemos da seguinte forma:



⧪ Quantos anagramas possui a palavra CASA?

R: Direto!

4!/2! = 12 anagramas. ( 4.3.2.1/2.1 = 24 /2 = 12 )

Por que o dois fatorial dividindo?

4! pela quantidade de letras e 2! porque a letra A aparece duas vezes na palavra.

E dividimos porque retiramos da contagem, as palavras repetidas, basta inverter os As de lugar e verá que a palavra não mudou, então não podemos usar como anagrama.

⧪ E a palavra MASSAS?

R: Basta fazer 5!/2!.3!

5.4.3.2.1/ 2.1.3.2.1 = 10 anagramas.

Reparem que o S repete 3 vezes e o A 2 vezes!
Por isso o 3! e 2! no denominador.

Próximo post: Cálculos com fatorial