Exercícios sobre duas retas paralelas cortadas por uma transversal e produtos notáveis

1) Na figura abaixo as retas m e n são paralelas. Os ângulos de medidas x e 40º são:

a) congruentes, pois são colaterais internos.

b) congruentes, pois são correspondentes.

c) congruentes, pois são alternos internos.

d) suplementares, pois são colaterais internos.

e) suplementares, pois são correspondentes.

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2) Na figura abaixo as retas m e n são paralelas. A diferença entre as medidas dos ângulos indicados por n e m é igual a:

a) 5º

b) 10º

c) 12º                                                      

d) 15º

e) 18º

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3) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então a afirmativa falsa é:

a) Os ângulos colaterais internos são congruentes.

b) Os ângulos correspondentes são congruentes.

c) Os ângulos alternos internos são congruentes.

d) Os ângulos alternos externos são congruentes.

e) Os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

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4) Sendo a² + b² = x e ab = y, então (a + b)² é igual a:

a) x²

b) x + y                             ( a + b )^2 = a^2 +2ab + b^2

c)  x – 2y                                    mudando a ordem:

d) x² + 2y                                  a^2 + b^2 + 2ab

e) x + 2y                                        x + 2y

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5 ) Sendo a + b = 4 e a – b = 2, calcule o valor de a² – b².

a^2 - b^2 = ( a + b ) . ( a - b ) = 4 . 2 = 8 

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6)   Determine as expressões algébricas que dão o perímetro e a área do retângulo abaixo:

Perímetro: 2.(x-2y) + 2.(2x - 3y) = 6x - 10y

Área: ( x - 2y ) . ( 2x - 3y ) = 2x^2-7xy + 6y^2

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7) A expressão mais simples de  

a^2 + 2ab + b^2/ a^2 + b^2 = ( a + b )^2 / ( a + b ). ( a - b ) = a + b / a -b

Letra C.

Exercícios sobre conservação de energia, Leis de kepler e 2ª lei de Newton

1 - (PUC-MG) De acordo com a terceira lei de Newton, a toda força corresponde outra igual e oposta, chamada de reação. A razão por que essas forças não se cancelam é:

a) elas agem em objetos diferentes.

b) elas não estão sempre na mesma direção.

c) elas atuam por um longo período de tempo.

d) elas não estão sempre em sentidos opostos.

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2 - Um corpo de massa 3 kg é submetido á uma força resultante de intensidade 12 N. Qual a aceleração que a mesma adquire?

Fr = m.a

12 = 3 . a

12/3 = a

a 4m/s^2

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3 - Um carro de 1200 kg de massa aumenta sua velocidade de 54 km/h para 90 km/h num intervalo de tempo de 5s. Qual a intensidade da força resultante que agiu sobre o carro?

54 km/h = 15 m/s

90 km/h = 25 m/s

a = 🔺v / 🔺t = 10/5 

a = 2 m/s^2

Logo,

Fr = m.a

Fr = 1200.2 

Fr = 2400 N

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4 - (UFRGS) Enquanto uma pedra sobe verticalmente no campo gravitacional terrestre, depois de ter sido lançado para cima, aumenta

a) o módulo da quantidade de movimento linear.

b) o módulo da força gravitacional sobre a pedra

c) a sua energia cinética

d) a sua energia mecânica

e) a sua energia potencial gravitacional

A energia potencial gravitacional é diretamente proporcional a altura.

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5 - (UFRGS) Á medida que uma bola cai livremente no campo gravitacional terrestre, diminui

a) o módulo da velocidade

b) o módulo da aceleração

c) o módulo da quantidade de movimento linear

d) a energia cinética

e) a energia potencial gravitacional

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6 - (UFPE) Em uma prova de salto com vara, uma atleta alcança, no instante em que a vara é colocada no apoio para o salto, a velocidade final v = 9,0 m/s. Supondo que toda energia cinética da atleta é convertida, pela vara, em energia potencial gravitacional, calcule a altura mínima que a atleta alcança. Despreze a resistência do ar.

a) 4,0 m

b) 3,8 m

c) 3,4 m

d) 3,0 m

e) 2,8 m

Devemos igualar a energia potencial gravitacional à cinética:

mv^2/2 = mgh

cancelando-se as massas, temos:
v^2/2 = g.h
9^2/2 = 10.h
81/2 = 10.h
40,5 = 10.h
h = 4,05 m

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7 - - (UFMG-96) Esta figura representa a órbita elíptica de um cometa em trono do Sol.

Com relação aos módulos das velocidades desse cometa nos pontos P e Q, v_P e v_Q, e aos módulos das acelerações nesses mesmos pontos, a_P e a_Q, pode-se afirmar que:

Com relação aos módulos das velocidades desse cometa nos pontos P e Q, v_P e v_Q, e aos módulos das acelerações nesses mesmos pontos, a_P e a_Q, pode-se afirmar que:

1. v_P < v_Q e a_P < a_Q
2. v_P < v_Q e a_P > a_Q
3. v_P = v_Q e a_P = a_Q
4. v_P > v_Q e a_P < a_Q
5. v_P > v_Q e a_P > a_Q

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8 - (Direito. C.L.-97) Tendo em vista as Leis de Kepler sobre os movimento dos planetas, pode-se afirmar que:

1. a velocidade de um planeta, em sua órbita, aumenta à medida que ele se afasta do sol.
2. o período de revolução de um planeta é tanto maior quanto maior for sua distância do sol.
3. o período de revolução de um planeta é tanto menor quanto maior for sua massa.
4. o período de rotação de um planeta, em torno de seu eixo, é tanto maior quanto maior for seu o período de revolução.
5. o sol se encontra situado exatamente no centro da órbita elíptica descrita por um dado planeta.

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9 - Na figura que representa esquematicamente o movimento de um planeta em torno do sol, a velocidade do planeta é maior em:

1. A
2. B
3. C
4. D
5. E 

Pela lei das áreas, 2ª lei de Kepler, concluímos que a velocidade aumenta no periélio.

Exercícios comentados números decimais e introdução à Álgebra

1. Um mergulhador atingiu a profundidade de  4,85 m em alto-mar. Um segundo mergulhador atingiu  o dobro dessa profundidade.  Um terceiro mergulhador atingiu o dobro em metros do segundo mergulhador.  Use um número racional relativo para indicar a profundidade atingida pelo terceiro mergulhador.

Segundo mergulhador: 2 x 4,85 = 9,70

Terceiro mergulhador: 2 x 9,70 = 19,40 m 

Número racional relativo, como é profundidade, poderíamos responder -19,40 m pois é usamos a ideia de abaixo do nível do mar.

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2. O saldo bancário de Arnaldo é R$ 216,25 negativo, ou seja, - R$ 216,25  Qual é a quantia que ele deve depositar para que o saldo fique   + R$ 203,75?     

  Para calcular distâncias entre dois números inteiros basta fazer a diferença entre eles. Então:

203,75 - ( -216,25 ) =  420,00 

Lembre-se: seriam  R$ 216,25 para zerar a dívida, mais 203,75 para se obter o saldo desejado.

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3     - No esquema a seguir está indicada a distância de A até B e a distância de B até C, em centímetros. Calcule a distância de A até C.

Basta somar: 7,09 + 2,91 = 10,0 cm 

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 4 - Veja as distâncias, em quilômetros de Vila Antonieta a Brejo Alegre e a distância de Vila Antonieta a Cravolândia. Observando os dados, descubra a distância de Brejo Alegre a Cravolândia.

Como a distância a se calcular seria entre Brejo Alegre e Cravolândia, então usamos a subtração.

9,1 - 6,95 = 9,10 - 6,95( igualamos as casas decimais ) = 2,15

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 5 - O gráfico mostra a venda de veículos de uma indústria fictícia, em determinado período de tempo.

a) Em qual mês desse período a venda de veículos foi maior?

Março ( 14,61mil )

b) Em março de 2007 foram vendidos mais veículos do que em agosto de 2007. Quantos veículos a mais?  

Basta fazer 14,61 - 11,71 =  2,9 mil

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6 - A balança está em equilíbrio. Que número decimal devemos colocar no lugar da interrogação?

Como a balança está em equilíbrio, a massa de um lado do prato é igual a massa do outro, então:

1,8 + 2,7 = 3,25 + ?

4,5 = 3,25 + ?

4,5 - 3,25 = ?

1,25 = ?

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7- Calcule o valor numérico das expressões algébricas:

a) x^2 -5x + 8 , para x = 2

trocamos o x por 2 e realizamos os devidos cálculos

2^2 - 5.2 + 8 

4 - 10 + 8 

12 -10 = 2

b) x^2 -5x + 8 , para x = - 2

De forma análoga,

(-2)^2 - 5.(-2) + 8

4 + 10 + 8 = 22

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8 -  Se um sanduíche custa s reais e um refrigerante r reais, indique o custo, em reais, de:

a)    dois sanduíches; 2s ou 2.s

b)    sete refrigerantes; 7r ou 7.r

c)    um sanduíche e três refrigerantes; s + 3r ou s + 3.r

d)    cinco sanduíches e um refrigerante. 5s + r ou 5.s + r

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    9 -  Represente algebricamente os perímetros destas figuras:

a) 3a + 2b

b) 2x + 2z + 8y

c) 6c + 4d

Análise Combinatória - Fatorial e Anagramas

Olá visitante,

Inaugurando o blog com um tema muito usado em vestibulares e concursos: Análise combinatória.

Primeiro de todos:
→ Fatorial ( ! )

O que é fatorial?

Esse símbolo "!" que é usado como exclamação no nosso idioma, na Matemática é usado para representar multiplicações sucessivas por um número inicial e seus antecessores até chegar ao 1.

Exemplos: 

5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
1! = 1 
0! = 1 ( por convenção )

De forma geral,

n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)....2.1

 Observação:
Não existe fatorial com números negativos.

E para que isso serve?

Para responder essa questão, podemos avançar um pouco para:

→ Anagramas

Anagramas significam o "embaralhamento das letras de uma palavra, formando sentido à essa nova palavra ou não.

Exemplo:

⧪ Quantos anagramas existem da palavra SAL?

R: Os anagramas são:

SAL
SLA
ASL
ALS
LAS
LSA

Ou seja, 6 anagramas possíveis.

Mas qual a ligação entre anagramas e fatorial?

Se usarmos a quantidade de letras, veremos que:

3! = 3.2.1 = 6 anagramas

Perceberam que o resultado deu o mesmo? Então, isso nos ajuda também quando pede-se anagramas de palavras com mais letras. Imaginem quantos anagramas teríamos que fazer com a palavra PAULO.
5! = 120 anagramas!!!! Ainda bem que na Matemática só pedimos quantos e não quais!

Uma outra observação importante é que esse cálculo só serve para anagramas sem letras repetidas.

Quando há letras repetidas procedemos da seguinte forma:



⧪ Quantos anagramas possui a palavra CASA?

R: Direto!

4!/2! = 12 anagramas. ( 4.3.2.1/2.1 = 24 /2 = 12 )

Por que o dois fatorial dividindo?

4! pela quantidade de letras e 2! porque a letra A aparece duas vezes na palavra.

E dividimos porque retiramos da contagem, as palavras repetidas, basta inverter os As de lugar e verá que a palavra não mudou, então não podemos usar como anagrama.

⧪ E a palavra MASSAS?

R: Basta fazer 5!/2!.3!

5.4.3.2.1/ 2.1.3.2.1 = 10 anagramas.

Reparem que o S repete 3 vezes e o A 2 vezes!
Por isso o 3! e 2! no denominador.

Próximo post: Cálculos com fatorial